2024年1月考季爱德思alevel数学FP2考情分析

Further pure mathematics 2(FP2)是A-Level进阶数学课程pure math的更后第二个单元，学生完成P3、P4、FP1后方可开始FP2的学习。FP2计算量相对较大，尤其是在处理第四章复平面变换后的轨迹方程时，需要利用分母实数化找出w-plane上复数的虚部和实部，进而根据条件列式;同时，该单元对积分的要求较高，需要学生熟练掌握P3、P4基本初等函数的积分以及两类积分方法(u-substitution、integration by parts)，这是解微分方程和计算极曲线所围面积的基本要求。

FP2共有8章，各章节之间相对较为独立，因此不同章节知识点交叉情况较少，每个主题一般涉及一题。过去三年的题目中，极坐标、微分方程和复数考察分值占比较高。总体而言，题型相对比较固定，考察的知识点和分值统计如下：

2024年1月考季FP3卷面考察情况如下：

Chapter 1: Inequality

这一类题目主要考察分式不等式和绝对值不等式的求解。基本的步骤不等式两边同乘分母平方→移项整理求临界值→画图确定区间。在利用“穿根法”确定解集时，需要关心以下两点：①更高次项幂的奇偶及其系数正负;②根的重复次数(“奇穿偶不穿”)。更后还需要注意解集能否合并书写以及取等条件不可使分母为零。

Chapter 2: Method of difference

列项求和的考察一般分为三个小问：

Ø 利用partial fraction表示一个繁分式;

Ø 在列项的基础之上，借助枚举项，观察抵消规律，并得到更简式并通分;

Ø 给出具体的数值算例;

此次考试，a.b两问依旧延续此前的风格，仅c问有所变化，需要借助自然数的前项和公式求待定常数，难度不大。

Chapter 3: Complex number

问主要考察复数的三种基本表达形式: Cartesian form, Polar form, Exponential form。在寻找argument时尽量画出复平面，利用几何关系给出范围内的夹角

问直接借助De Moivre’s Theorem,问涉及De Moivre’s Theorem的应用，主要分为三类：power of fundament angle in terms of compound angle、compound angle in terms of power of fundamental angle、nth root of complex number。本题考察为更后一类，直接表示出，对k进行赋值0 和1即可，需要注意题目要求的复数形式。

Chapter 4: Further Argand Diagrams

该小题属于复平面变换的经典类型，首先在z-plane上给出一条直线，在莫比乌斯变换下，映射到w-plane上的一个圆。

问寻找圆心和半径，可首先将z反解，即利用表示出z，然后借助和的Cartesian Form建立等式关系，随后配方找到center和radius。

问较为简单，在复平面上画出该圆，并注明阴影部分即可。

Chapter 5: First-order Differential Equation

可降型一阶微分方程的考察较为固定，一般分为三个小问，首先利用换元将一阶微分方程降为线性方程，然后利用积分因子法找出变元的通解(general solution)，更后利用和的关系求解出更终的通解或进一步结合边界条件给出特解(particular solution)。

问考察三角函数恒等式的证明，主要涉及P3三角函数部分的内容，可利用切化弦的办法，将正切和余切表示为正余弦的商，进而通分借助二倍角公式化简即可;

问的易错点主要是对给出的substitution进行微分，在微分时需要将和y均视为的函数，利用隐函数和微分的乘法规则即可得到微分结果，更后将的微分利用的微分表示并带入式化简;

问首先找出积分因子，然后方程两边同时乘上积分因子，得到恰当方程(Exact Equation)的形式，等式两边同时积分可得通解。

Chapter 6: Second-order Differential Equation

本题a问属于二阶非齐次方程线性微分方程的基本类型，特征方程(Auxiliary Equation):，解之可得两个共轭复根，，由此可写出通解。接下来，是确定特解(Particular Integration)的形式，有同学在这个地方弄混淆，将视为特征方程的解，进而错误的书写P.I.的形式，导致这道题未能正确解出来。对于C.F.和P.I.出现重复的情形，历年考试中只会考察单重特征值的情形，也就是将P.I.设为的形式，二重特征值及复根重复的情形基本不会考到，这个知识点一定要注意。b、c两问均建立在特解基础上，可先由边界条件确定特解，然后求导确定驻点即可。

Chapter 7: Maclaurin and Taylor Series

泰勒展开和麦克劳林展开式均是对一个光滑函数做多项式逼近，对于这类题目一般可分为两类情形：直接展开和间接展开。直接展开即是借助定义求在展开点处有限的各阶导数，间接展开需要识记一些基本初等函数的展开式，将函数视为复合函数，直接借由其形式做代换即可。此题我们可利用基本定义首先求出各阶导函数及导数值，然后对

进行赋值，利用展开式做近似计算即可。对于该部分知识还需要掌握微分方程的级数解，这一类问题的难点主要是题目给出隐函数时，要求学生根据链式法则、乘法求导规则确定高阶导数，这一过程必须要搞清楚。

Chapter 8: Polar Coordinates

极坐标在本教材中算是相对独立的章节，考点和前面七章不会重叠，且理解起来难度不大。在备考过程中，主要掌握以下高频考点：

Ø 极曲线交点的确定

Ø 切线和法线(parallel and Perpendicular to initial line)

Ø 极曲线积分

这类题目，核心的解题能力在于微积分，尤其是考察三角函数的积分。因此对于常见的三角函数积分被积式积分策略要非常熟悉。回到本题，要求阴影部分的面积，只需要在对积分即可。对于积分上下限的问题，需要注意，有时题目要求积分的exact value，而积分限又是非特殊角，这个时候只需要借助三角函数的公式将积分结果化为基本角的正余弦的表达式，然后带入非特殊三角函数值即可。

纵观整张试卷，仍延续以后的命题风格，且考点均较为常规，未出现较新的题型。5月考季，需要重点复习二阶可降微分方程，De Moivre’s Theorem的三类应用：基本角正余弦的幂，复合角正余弦，以及利用高阶导数给出微分方程的级数解。