2024年1月爱德思alevel进阶数学FP3考情分析

Further pure mathematics 3(后文简称FP3)是A-Level进阶数学pure math部分的更后一个单元，学员需完成P3、P4、FP1后才能开展FP3的学习。FP3微积分学习难度较高，需要学生熟练掌握P3、P4的微积分公式、reverse chain rule、integration by parts等积分方法。

第五章的向量知识也建立在P4向量知识的基础上，扩展了向量外积、用向量表示平面等知识。FP3也是进阶数学所有单元中计算量比较大的单元，计算较为复杂，不少同学因为计算问题在考试中失分。

过去三年的题目中，考察得更多的是第四章的知识，分值也高—— 一般考察三道题，总分值(raw)至少25分——这占了总分值的三分之一。

第五章、第六章知识点繁多，每个考季的考察点也略有变化，更近五次考试均考察了第六章eigenvector相关内容。三阶逆矩阵在过去五次的考察率为五分之二，2024年1月并为考察，预计2024年6月有较大概率考察该知识点。

2024年1月考季FP3卷面考察情况如下：

一、A-Level进阶数学微积分

本次考试微积分相关知识比例比较大，一共考了四道题。

第1题就考察了定积分内容，主要是对反三角函数、反双曲函数导数的应用。

两个小问均较简单，熟悉公示本、了解相关公式，直接带公式计算即可。易错点为(ii)问中的系数，本题能否拿满分就在于答题者能否正确提取系数。

第5题a问是对双曲恒等式的考察，题目明确说明要用定义来证明，带入定义式即可。

a问本身是对0章公式的考察，但也是对后面b问递归积分的提示。其中tanhⁿ3X需要表示成tanhⁿ⁻²3X ·tanh²3X 后，利用a问的结论把tanh²3X化为1- sech²3X在积分。

本题难度不大，递归积分几乎复制第四章example 23解题方法。熟悉教材内容即可顺利解题。

本题解题的核心在考前不在考试中。 4.6四道递归积分例题分别对应四种不同方法，example 20 — example 22均需要使用integration by parts技巧积分，example 23则不需要使用by parts技巧，但需要学员熟悉三角恒等式和双曲恒等式，需要利用 reverse chain rule积分公式积分。

学习该部分内容时不仅需要区分各例题适用于哪些题型，更需要课后多加练习，熟悉题型、熟悉具体的积分方法、熟悉相应的化简技巧。FP3考试题量大、计算难度大，如果不熟悉相关题型，考试时递归积分可能会花费很多时间。因此，熟悉递归积分相关题型、在限时内完成相关题目，才有可能让我们拿到70+的卷面分。

本题考察了第三章的反三角函数导数、双曲函数导数。考察了一阶导和turning point(P2)的关系。总的来说思路简单，但计算有一定难度。实际解题过程中，不少同学因为计算问题没有完成b问。b问求导后解方程依赖于P1的换元积分基础，FP30章例题中也有换元法的应用与展示。b问考察的知识点和代数方法都较为基础，答题需要细心。

a问求周长，考察点是第四章曲线长度的计算，但也不是只算曲线长，需要注意题目要求是求阴影部分的“周长”，曲线本身只是“周长”的一段。

b问给出了换元法的换元公式，极大的降低了本题的解题难度——不需自己去找换元公式，只需要根据题目所给公式、按P4讲的换元法积分即可。

二、A-Level进阶数学圆锥曲线

2024年1月考季圆锥曲线只考了一道题，共11分。正常分值，题量较大。既考察了对公式本上公式的运用(焦点、离心率、准线)，又考察了学生对loci的理解，cde三个小问着重考察代数方法。

本次考试对圆锥曲线的考察跳过了曲线tangent与normal公式的推倒or证明。更多的考察了焦点、离心率、准线相关公式的运用，难度居中。

三、A-Level进阶数学矩阵

矩阵知识出了两道题，第2题更多是矩阵线性变换，结合了第五章的知识。第4题着重考察了第六章后半部分的知识点。

a问较简单，不难发现使用矩阵乘法即可解题——这看起来更像是考察FP1的知识。但实际上a问是在位b问作铺垫，a问中的U矩阵实际上是T矩阵的逆矩阵，这是b问破题的关键。

b问题目条件给的直线笛卡尔式，常规做法需要化为参数式后，再利用矩阵变换的规则计算出直线l₁。

第四题b问较为常规，a问是已知eigenvector 求 eigenvalue。a问看起来是新题型，但本质也是对特征向量定义式的应用。带入定义式计算即可。

eigenvector 计算时要注意，化简后的三个方程并不是线性无关的，需要自行设出x、y、z中的一个坐标，再去求另外两个坐标。

c问也是对矩阵对角化公式的考察，矩阵对角化里一个常见错误是，忘记eigenvector需要单位化、直接使用题目中求出来的eigenvector。一定要注意避免这种情况。

四、A-Level进阶数学向量

向量部分知识点多，但大部分考季只考一道向量题，因此很多知识点都不会在单次考试中考察。例如2024年1月考季就没有考察线面夹角、线线距离、点到直线距离等知识点。

a问考察平面的表达，要求写出笛卡尔式，常规做法是算出平面法向量，由scalar form转化为笛卡尔式。

b问是线面交点问题，常规做法是表示出直线的参数点后，带入平面笛卡尔式求参数。

c问是求四面体积相关问题，需要熟悉四面体体积算法，需要了解三重积算法。

总的来说2024年1月考季中alevel进阶数学FP3考察的均为常规知识点，没有偏题、怪题，算是中规中矩的一套。